Les surfaces \`a courbure int\'egrale born\'ee au sens d'Alexandrov

Abstract

Dans les ann\'ees 1940-1970, Alexandrov et l'"\'Ecole de Leningrad" ont d\'evelopp\'e une th\'eorie tr\`es riche des surfaces singuli\`eres. Il s'agit de surfaces topologiques, munie d'une m\'etrique intrins\`eque pour laquelle on peut d\'efinir une notion de courbure, qui est une mesure de Radon. Cette classe de surfaces a de bonnes propri\'et\'es de convergence et elle est remarquablement stable par rapport \`a diverses constructions g\'eom\'etriques (recollements etc.). Elle englobe les surfaces poly\'edrales ainsi que les surfaces riemanniennes de classe $C^2$ ; ces deux classes formant des parties denses de l'espace des surfaces d'Alexandrov. Toute surface singuli\`ere qu'on peut raisonnablement imaginer est une surface d'Alexandrov et de nombreuses propri\'et\'es g\'eom\'etriques des surfaces lisses s'\'etendent et se g\'en\'eralisent aux surfaces d'Alexandrov. Le but de cet expos\'e est de donner une introduction non technique \`a la th\'eorie d'Alexandrov, de donner des exemples et quelques-uns des faits fondamentaux de la th\'eorie. Nous pr\'esenterons \'egalement un th\'eor\`eme de classification des surfaces (compactes) d'Alexandrov.