Measure-theoretic chaos (Chaos au sens de la mesure)
Abstract
We define new isomorphism-invariants for ergodic measure-preserving systems on standard probability spaces, called measure-theoretic chaos and measure-theoretic+ chaos. These notions are analogs of the topological chaoses DC2 and its slightly stronger version (which we denote by DC112). We prove that: 1. If a \ system is measure-theoretically (measure-theoretically+) chaotic with respect to at least one of its ergodic measures then it is ly DC2 ( DC1 12) chaotic. 2. Every ergodic system with positive Kolmogorov--Sinai entropy is measure-theoretically+ chaotic (even in a bit stronger uniform sense). We provide an example showing that the latter statement cannot be reversed, a system of entropy zero with uniform measure-theoretic+ chaos. R\'esum\'e Nous introduisons de nouveaux invariants pour les syst\`emes dynamiques d\'efinis sur des espaces probabilis\'es standards, appel\'es respectivement chaos mesur\'e et chaos+ mesur\'e. Ces notions sont des analogues du chaos topologique DC2 et de l'une de ses variantes, renforc\'ee, que nous appelons DC1 12. Nous montrons d'une part que si un syst\`eme dynamique topologique est chaotique (resp. chaotique+) au sens da la mesure relativement \`a\ l'une de ses mesures invariantes ergodiques, alors il l'est du point de vue topologique au sens correspondant. Nous montrons que tout syst\`eme ergodique d'entropie m\'etrique positive est chaotique+ au sens de la mesure (m\eme en un sens plus fort, i.e. uniform\'ement). Nous donnons enfin un exemple de syst\`eme dynamique topologique d'entropie nulle qui pr\'esente pour l'une de ses mesures invariantes ergodiques un chaos+ mesur\'e uniforme.