Action of the symmetric groups on the homology of the hypertree posets
Abstract
The set of hypertrees on n vertices can be endowed with a poset structure. J. McCammond and J. Meier computed the dimension of the unique non zero homology group of the hypertree poset. We give another proof of their result and use the theory of species to determine the action of the symmetric group on this homology group, which is linked with the anti-cyclic structure of the Prelie operad. We also compute the action on the Whitney homology of the poset. ----- L'ensemble des hyperarbres \`a n sommets peut \etre muni d'un ordre partiel. J. McCammond et J. Meier ont calcul\'e la dimension de l'unique groupe d'homologie non trivial du poset des hyperarbres. Apr\`es avoir donn\'e une autre preuve de ce r\'esultat, nous utilisons la th\'eorie des esp\`eces pour d\'eterminer l'action du groupe sym\'etrique sur ce groupe, que nous relions \`a la structure anti-cyclique de l'op\'erade Prelie. Nous calculons aussi l'action du groupe sym\'etrique sur l'homologie de Whitney du poset.