La conjecture de Casas Alvero pour les degr\'es 5pe
Abstract
According to Casas Alvero conjecture, if a one variable polynomial of degree n over a field of characteristic 0 is not prime with each of the n-1 first derivees, then it is of the form c (X-r)n. Let p be a prime number and an integer e, the conjecture is showed to be true for polynomials of degree pe, 2pe, 3pe (p neq 2) and 4pe (p neq 3,5, 7) . In this work we show that the conjecture is true for polynomials of degree 5pe (p neq 2,3,7,11,131,193,599,3541,8009) . It also corrects an error in Draisma and Jong (2011) for the polynomials of degree 4pe ----- Selon la conjecture de Casas Alvero, si un polyn\ome \'a une variable de degr\'e n sur un corps commutatif de caract\'eristique 0 est non premier avec chacune de ses n-1 premi\'eres d\'eriv\'es, alors il est de forme c(X-r)n. Soient p un nombre premier et e un entier, la conjecture a \'et\'e d\'emontr\'ee pour les polyn\omes de degr\'e pe,2pe, 3pe (p≠ 2) et 4pe (p≠ 3,5,7). Dans ce travail on montre que la conjecture est vrai pour les polyn\omes de degr\'e 5pe (p≠ 2,3,7,11,131,193,599,3541,8009). On corrige aussi une erreur dans Draisma et Jong (2011) pour les degr\'e 4pe
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