On the density of singular hyperbolic three-dimensional vector fields: a conjecture of Palis

Abstract

In this note we announce a result for vector fields on three-dimensional manifolds: those who are singular hyperbolic or exhibit a homoclinic tangency form a dense subset of the space of $C^1$-vector fields. This answers a conjecture by Palis. The argument uses an extension for local fibered flows of Ma\~n\'e and Pujals-Sambarino's theorems about the uniform contraction of one-dimensional dominated bundles. Sur la densit\'e de l'hyperbolicit\'e singuli\`ere pour les champs de vecteurs en dimension trois : une conjecture de Palis Dans cette note, nous annon\c{c}ons un r\'esultat portant sur les champs de vecteurs des vari\'et\'es de dimension $3$ : ceux qui v\'erifient l'hyperbolicit\'e singuli\`ere ou qui poss\`edent une tangence homocline forment un sous-ensemble dense de l'espace des champs de vecteurs $C^1$. Ceci r\'epond \`a une conjecture de Palis. La d\'emonstration utilise une g\'en\'eralisation pour les flots fibr\'es locaux des th\'eor\`emes de Ma\~n\'e et Pujals-Sambarino traitant de la contraction uniforme de fibr\'es unidimensionnels domin\'es.