Quelques remarques \`a propos d'un th\'eor\`eme de Checcoli

Abstract

In his thesis, S. Checcoli shows that, among other results, if $K$ is a number field and if $L/K$ is an infinite Galois extension with Galois group $G$ of finite exponent, then $L$ has uniformly bounded local degrees at every prime of $K$. In this article we gather two remarks about the generalisation of S. Checcoli's result to function fields of positive characteristic. We first show an analogue of her theorem $2.2.2$ in this context, under the hypothesis that the Galois group exponent is prime to $p$. Using an example, we then show that this hypothesis is in fact necesary.---Dans sa th\`ese, S. Checcoli montre, entre autres r\'esultats, que si K est un corps de nombres et si L=K est une extension galoisienne in finie de groupe de Galois G d'exposant fini, alors les degr\'es locaux sur L sont uniform\'ement born\'es en toutes les places de K. Dans cette article nous rassemblons deux remarques \`a propos de la g\'en\'eralisation du r\'esultat de S. Checcoli aux corps de fonctions de caract\'eristique positive. D'une part nous montrons un analogue de son th\'eor\`eme dans ce cadre, sous l'hypoth\`ese que l'exposant du groupe de Galois soit premier \`a p. D'autre part, nous montrons \`a l'aide d'un exemple que cette hypoth\`ese est en fait n\'ecessaire.