On the hyperbolicity of C1-generic homoclinic classes
Abstract
Works of Liao, Ma\~n\'e, Franks, Aoki and Hayashi characterized lack of hyperbolicity for diffeomorphisms by the existence of weak periodic orbits. In this note we announce a result which can be seen as a local version of these works: for C1-generic diffeomorphism, a homoclinic class either is hyperbolic or contains a sequence of periodic orbits that have a Lyapunov exponent arbitrarily close to 0. Des travaux de Liao, Ma\~n\'e, Franks, Aoki et Hayashi ont caract\'eris\'e le manque d'hyperbolicit\'e des diff\'eomorphismes par l'existence d'orbites p\'eriodiques faibles. Dans cette note, nous annoncons un r\'esultat qui peut \etre consid\'er\'e comme une version locale de ces travaux: pour les diff\'eomorphismes C1-g\'en\'eriques, une classe homocline ou bien est hyperbolique, ou bien contient une suite d'orbites p\'eriodiques qui ont un exposant de Lyapunov arbitrairement proche de 0.