Traveling fronts in space-time periodic media

Abstract

This paper is concerned with the existence of pulsating traveling fronts for the equation: $\partial_t u - \nabla \cdot (A(t, x)\nabla u) + q(t, x) \cdot \nabla u = f (t, x, u)$, (1) where the diffusion matrix $A$, the advection term $q$ and the reaction term $f$ are periodic in $t$ and $x$. We prove that there exist some speeds $c^*$ and $c^{**}$ such that there exists a pulsating traveling front of speed $c$ for all $c\ge c^{**}$ and that there exists no such front of speed $c<c^*$. We also give some spreading properties for front-like initial data. In the case of a KPP-type reaction term, we prove that $c^* = c^{**}$ and we characterize this speed with the help of a family of eigenvalues associated with the equation. If $f$ is concave with respect to $u$, we prove some Lipschitz continuity for the profile of the pulsating traveling front. Cet articl{\'e} etudie l'existence de fronts pulsatoires pour l'\'equation : $\partial_t u - \nabla \cdot (A(t, x)\nabla u) + q(t, x) \cdot \nabla u = f (t, x, u)$, (2) o\`u la matrice de diffusion A, le terme d'advection $q$ et le terme de r{\'e}action $f$ sont p{\'e}riodiques en $t$ et en $x$. Nous prouvons l'existence de deux vitesses $c^*$ et $c^{**}$ telles qu'il existe un front pulsatoire de vitesse $c$ pour tout $c \ge c^{**}$ et qu'il n'existe pas de tel front de vitesse $c<c^*$. Nous donnons egalement des propri{\'e}t{\'e}s de spreading pour des donn{\'e}es initiales ressemblant a des fronts. Dans le cas d'un terme de r{\'e}action de type KPP, nous prouvons que $c^* = c^{**}$ et nous caract{\'e}risons cette vitess{\`e} a l'aide d'une famille de valeurs propres associ{\'e}{\`e} a l'\'equation. Si $f$ est concave en $u$, nous montrons que le profil du front pulsatoire construit est lipschitzien.