A program to test the p-rationality of any number field

Abstract

Let K be a number field. We prove that its ray class group modulo p 2 (resp. 8) if p > 2 (resp. p = 2) characterizes its p-rationality. Then we give two short, very fast PARI Programs (\S \S 3.1, 3.2) testing if K (defined by an irreducible monic polynomial) is p-rational or not. For quadratic fields we verify some densities related to Cohen-Lenstra-Martinet ones and analyse Greenberg's conjecture on the existence of p-rational fields with Galois groups (Z/2Z) t needed for the construction of some Galois representations with open image. We give examples for p = 3, t = 5 and t = 6 (\S \S 5.1, 5.2) and illustrate other approaches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). We conclude about the existence of imaginary quadratic fields, p-rational for all p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen on the concept of "minimal absolute abelian Galois group") which may enlighten a conjecture of p-rationality (Hajir-Maire) giving large Iwasawa $\mu$-invariants of some uniform prop groups. R{\'e}sum{\'e} Soit K un corps de nombres. Nous montrons que son corps de classes de rayon modulo p 2 (resp. 8) si p > 2 (resp. p = 2) caract{\'e}rise sa p-rationalit{\'e}. Puis nous donnons deux courts programmes PARI (\S \S 3.1, 3.2) trs rapides testant si K (d{\'e}fini par un polyn{\^o}me irr{\'e}ductible uni-taire) est p-rationnel ou non. Pour les corps quadratiques nous v{\'e}rifions certaines densit{\'e}s en relation avec celles de Cohen-Lenstra-Martinet et nous analysons la conjecture de Greenberg sur l'existence de corps p-rationnels de groupes de Galois (Z/2Z) t n{\'e}cessaires pour la construction de certaines repr{\'e}sentations galoisiennes d'image ouverte. Nous donnons des exemples pour p = 3, t = 5 et t = 6 (\S \S 5.1, 5.2) et il-lustrons d'autres approches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). Nous concluons sur l'existence de corps quadratiques imaginaires p-rationnels pour tout p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen sur le concept de "groupe de Galois ab{\'e}lien absolu minimal") qui peut{\'e}clairerpeut{\'e}clairer une conjecture de p-rationalit{\'e} (Hajir-Maire) donnant de grands invariants $\mu$ d'Iwasawa relatifs {\`a} certains prop -groupes uniformes.