Partial sums of the cotangent function

Abstract

Nous prouvons l'existence de formules de r\'eciprocit\'e pour des sommes de la forme $\sum_{m=1}^{k-1} f(\frac{m}k) \cot(\pi\frac{mh}k)$, o\`u $f$ est une fonction $C^1$ par morceaux, qui met en \'evidence un ph\'enom\`ene d'alternance qui n'appara\^it pas dans le cas classique o\`u $f(x) = x$. Nous d\'eduisons des majorations de ces sommes en termes du d\'eveloppement en fraction continue de $h/k$. We prove the existence of reciprocity formulae for sums of the form $\sum_{m=1}^{k-1}f(\frac{m}{k})\cot(\pi \frac{m h}k)$ where $f$ is a piecewise $C^1$ function, featuring an alternating phenomenon not visible in the classical case where $f(x)=x$. We deduce bounds for these sums in terms of the continued fraction expansion of $h/k$.