Groupes de Brauer alg\'ebriques modulo les constants d'espaces homog\`enes et leurs compactifications

Abstract

Let $X$ be a smooth, geometrically integral variety over a field $K$. Then the quotient of the "algebraic" Brauer group of $X$ by $\operatorname{Br} K$ injects into $\textrm{H}^1(K,\textrm{Pic} \bar{X})$. We show that this inclusion is not always an isomorphism, even in the case where $X$ is a homogeneous space of a connected linear algebraic group over $K$. A similar result for the smooth compactifications of $X$ is also given. ----- Soit $X$ une vari\'et\'e lisse, g\'eom\'etriquement int\`egre sur un corps $K$. Alors le quotient du groupe Brauer "alg\'ebrique" de $X$ par $\operatorname{Br} K$ s'injecte dans $\textrm{H}^1(K,\operatorname{Pic} \bar{X})$. Nous montrons que cette inclusion n'est pas toujours un isomorphisme m\^eme dans le cas o\`u $X$ est un espace homog\`ene d'un groupe alg\'ebrique lin\'eaire connexe sur $K$. Un r\'esultat similaire pour les compactifications lisses de $X$ est aussi donn\'e.