Finitude uniforme pour les cycles de codimension 2 sur les corps de nombres

Abstract

Soit $X$ une vari\'et\'e projective et lisse, d\'efinie sur un corps de nombres. Sous l'hypoth\`ese $H^2(X,\mathcal O_X)=0,$ Colliot-Th\'el\`ene et Raskind ont d\'emontr\'e que le sous-groupe de torsion $CH^2(X)_{tors}$ du groupe de Chow en codimension $2$ est fini. Dans cette note, on donne des bornes uniformes pour le groupe fini $CH^2(X)_{tors}$ quand $X$ varie en famille. Let $X$ be a smooth projective variety defined over a number field. Assuming $H^2(X,\mathcal O_X)=0,$ Colliot-Th\'el\`ene and Raskind proved that the torsion subgroup $CH^2(X)_{tors}$ in the Chow group of cycles of codimension $2$ is finite. In this note, we give uniform bounds for the finite group $CH^2(X)_{tors}$ when $X$ varies in a family.