Balade newtonienne entre analyse et arithm\'etique (Newtonian promenade between analysis and arithmetic)

Abstract

Invented by Kurt Hensel at the very end of 19th century on the model of power series in one indeterminate, the $p$-adic numbers have not only become an indispensable tool of contemporary arithmetic, but a research topic per se. In this text, stemming out two talks at the 2023 X-UPS lectures, I shall explain their construction, how they fit in a vaster framework, between analysis and arithmetic, where two constructions bearing the name of Isaac Newton play a central role : Newton's method and Newton's polygon. Invent\'es par Kurt Hensel \`a la toute fin du 19e si\`ecle sur le mod\`ele des s\'eries formelles en une ind\'etermin\'ee, les nombres $p$-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithm\'etique contemporaine, mais un sujet d'\'etude en soi. Dans ce texte, issu de deux expos\'es aux journ\'ees X-UPS 2023, j'expliquerai leur construction, comment ils s'ins\`erent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithm\'etique, o\`u deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un r\^ole central: la m\'ethode de Newton et la notion de polygone de Newton.