Groupe de Picard de la vari\'et\e de modules des th\^eta-caracteristiques des courbes planes

Abstract

Nous calculons le groupe de Picard de l'espace des modules $\Theta_{\planp}(d)$ des th\^eta-caract\'eristiques des courbes planes (non forc\'ement lisses) de degr\'e $d$. Nous montrons que pour $d\ge 6$, le groupe de Picard de la composante paire est engendr\'e par le fibr\'e d\'eterminant ${\cal{D}}$ et l'image r\'eciproque ${\cal{L}}$, sous le morphisme support sch\'ematique, de ${\cal{O}}_{\proj}(1)$ o\`u $\proj$ est l'espace des courbes de degr\'e $d$ sur $\planp$. Pour $1\le d \le 4$, ce groupe est engendr\'e uniquement par ${\cal{L}}$, le fibr\'e d\'eterminant \'etant trivial dans ces cas. Dans le groupe $\Cl$ des diviseurs de Weil, le fibr\'e d\'eterminant admet une racine: le fibr\'e pfaffien ${\cal{P}}$. De plus, pour $d\geq 4$ pair, ${\cal{L}}$ aussi admet une racine dans $\Cl$. Si $d=5$, le fibr\'e pfaffien s'\'etend en un fibr\'e inversible et le groupe de Picard est engendr\'e par ${\cal{L}}$ et ${\cal{P}}$. On verra ainsi que la composante paire de $\Theta_{\planp}(d)$ est localement factoriel si et seulement si $d=1,2,3$ ou $d=5$. On obtient un r\'esultat analogue pour la composante impaire. Ensuite, nous \'etudions la question d'existence d'une famille universelle sur un ouvert de l'ouvert $U$ des th\^eta-caract\'eristiques dont le faisceau sous-jacent est stable. Nous montrons que pour $d$ pair une telle famille ne peut exister, tandis que pour $d$ impair une telle famille existe, pas sur $U$ entier, mais localement dans la topologie de Zariski.