Sur les espaces de modules des fibres vectoriels de rang deux sur des hypersurfaces de P^3

Abstract

Soit $X$ une hypersurface lisse de degré $δ\geq 4$ dans $\pp ^3$ telle que $Pic(X)=Z$. On désigne par $M_X(c_2)$ l'espace de modules des fibrés vectoriels sur $X$ de classes de Chern $c_1 = 0$ et $c_2$, semi-stables par rapport au diviseur hyperplan. Nous contribuons ici à la recherche de différentes composantes irréductibles pour $c_2$ petit. On prouve que pour tout entier $c_2 \geq δ^3/4 - δ^2/2$ l'espace des modules $M_X(c_2)$ contient une composante irréductible réduite de dimension attendue. En utilisant un résultat de O'Grady, on en déduit que pour tout entier $c_2$ tel que $$ {1/4}(δ^3-2δ^2) \leq c_2 \leq {1/3}(δ^3 - 9 δ^2 + 26 δ- 3) $$ l'espace $M_X(c_2)$ possède au moins deux composantes irréductibles de dimensions distinctes. Pour $δ\geq 27$, de tels entiers existent! D'autre part, on prouve que pour $c_2 > {1/12}(13 δ^3 - 24 δ^2 + 8 δ)$, le fibré général de la bonne composante de $M_X(c_2)$ que nous construisons a cohomologie naturelle. Plus généralement, on démontre que pour toute surface projective lisse $X$ telle que le fibré canonique soit de la forme $K_X = \Oo_X(k)$ où $\Oo_X(1)$ est un fibré ample, alors si $c_2$ est suffisamment grand, le fibré général de l'unique composante de $M_X(c_2)$ a la cohomologie naturelle.