Sur les espaces de modules des fibres vectoriels de rang deux sur des hypersurfaces de P^3

Abstract

Soit $X$ une hypersurface lisse de degr\'e $\delta \geq 4$ dans $\pp ^3$ telle que $Pic(X)=Z$. On d\'esigne par $M_X(c_2)$ l'espace de modules des fibr\'es vectoriels sur $X$ de classes de Chern $c_1 = 0$ et $c_2$, semi-stables par rapport au diviseur hyperplan. Nous contribuons ici \`a la recherche de diff\'erentes composantes irr\'eductibles pour $c_2$ petit. On prouve que pour tout entier $c_2 \geq \delta ^3/4 - \delta ^2/2$ l'espace des modules $M_X(c_2)$ contient une composante irr\'eductible r\'eduite de dimension attendue. En utilisant un r\'esultat de O'Grady, on en d\'eduit que pour tout entier $c_2$ tel que $$ {1/4}(\delta ^3-2\delta ^2) \leq c_2 \leq {1/3}(\delta ^3 - 9 \delta ^2 + 26 \delta - 3) $$ l'espace $M_X(c_2)$ poss\`ede au moins deux composantes irr\'eductibles de dimensions distinctes. Pour $\delta \geq 27$, de tels entiers existent! D'autre part, on prouve que pour $c_2 > {1/12}(13 \delta ^3 - 24 \delta ^2 + 8 \delta)$, le fibr\'e g\'en\'eral de la bonne composante de $M_X(c_2)$ que nous construisons a cohomologie naturelle. Plus g\'en\'eralement, on d\'emontre que pour toute surface projective lisse $X$ telle que le fibr\'e canonique soit de la forme $K_X = \Oo_X(k)$ o\`u $\Oo_X(1)$ est un fibr\'e ample, alors si $c_2$ est suffisamment grand, le fibr\'e g\'en\'eral de l'unique composante de $M_X(c_2)$ a la cohomologie naturelle.