Forme normale formelle d'une perturbation \`a s\'eparatrices fix\'ees d'un champ hamiltonien quasi-homog\`ene

Abstract

On classifie \`a changement de variable formel pr\`es les champs de vecteurs --ainsi que les feuilletages qu'ils d\'efinissent-- qui sont des perturbations d'un champ hamiltonien quasi-homog\`ene $X_0$ par des termes de degr\'e de quasi-homog\'en\'eit\'e sup'erieur. Le degr\'e $\delta_0$ du champ $X_0$ est quelconque, mais on demande que le champ perturb\'e laisse encore invariant les s\'eparatrices de $X_0$. Les formes normales pr\'esent\'ees ici g\'en\'eralisent celles obtenues lorsque $X_0$ poss\`ede une partie lin\'eaire semi-simple ou nilpotente. Nous les interpr'etons g'eom'etriquement en terme de cohomologie relative au champ initial.