Bilinear Eigenfunction Estimates and the Nonlinear Schroedinger Equation on Surfaces

Abstract

We study the cubic non linear Schr\"odinger equation (NLS) on compact surfaces. On the sphere $\mathbb{S}^2$ and more generally on Zoll surfaces, we prove that, for $s>1/4$, NLS is uniformly well-posed in $H^s$, which is sharp on the sphere. The main ingredient in our proof is a sharp bilinear estimate for Laplace spectral projectors on compact surfaces. On \'etudie l'\'equation de Schr\"odinger non lin\'eaire (NLS) sur une surface compacte.Sur la sph\`ere $\mathbb{S}^2$ et plus g\'en\'eralement sur toute surface de Zoll, on d\'emontre que pour $s>1/4$, NLS est uniform\'ement bien pos\'ee dans $H^s$, ce qui est optimalsur la sph\`ere. Le principal ingr\'edient de notre d\'emonstration est une estimation bilin\'eaire pour les projecteurs spectraux du laplacien sur une surface compacte.