S\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques, $q$-analogues des valeurs de la fonction z\^eta et s\'eries d'Eisenstein

Abstract

Nous \'etudions la nature arithm\'etique de $q$-analogues des valeurs $\zeta(s)$ de la fonction z\^eta de Riemann, notamment des valeurs des fonctions $\zeta_q(s)= \sum_{k=1} ^{\infty}q^k \sum_{d\mid k} ^{}d^{s-1}$, $s=1,2,...$, o{\`u} $q$ est un nombre complexe, $| q|<1$ (ces fonctions sont intimenent li\'ees au monde automorphe). Le th\'eor\`eme principal de cet article montre que, si $1/q$ est un nombre entier diff\'erent de $\pm1$ et si $M$ est un nombre impair suffisamment grand, alors la dimension de l'espace vectoriel engendr\'e sur $\mathbb Q$ par $1,\zeta_q(3), \zeta_q(5),..., \zeta_q(M)$ est au moins $c_1\cdot\sqrt{M}$, avec $c_1=0,3358$. Ce r\'esultat peut \^etre consid\'er\'e comme un $q$-analogue du r\'esultat de \cite{ri, br}, qui affirme que la dimension de l'espace vectoriel engendr\'e sur $\mathbb Q$ par $1,\zeta(3),\zeta(5),...,\zeta(M)$ est au moins $c_2\cdot\log{M}$, avec $c_2=0,5906$. Pour les m\^emes valeurs de $q$, une minoration similaire pour les valeurs $\zeta_q(s)$ aux entiers $s$ pairs nous permet de red\'emontrer un cas particulier d'un r{\'e}sultat de Bertrand \cite{ber} qui affirme la transcendance sur $\mathbb{Q}$ de l'une des deux s\'eries d'Eisenstein $E_4(q)$ et $E_6(q)$ pour tout nombre complexe $q$ tel que $0<| q| <1$.