Perte d'information dans les transformations du jeu de pile ou face

Abstract

Soit $(ε_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ un jeu de pile ou face, c'est-à-dire une suite de variables aléatoires indépendantes de loi $(δ_{-1}+δ_1)/2$, et $(H_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ un processus à valeurs dans $\{-1,1\}$, prévisible dans la filtration naturelle de $(ε_n)_{n\in\mathbf{Z}}$. Alors $(H_nε_n)_{n\in \mathbf{Z}}$ est encore un jeu de pile ou face, dont la filtration naturelle est contenue dans celle de $(ε_n)_{n\in\mathbf{Z}}$. Le but de l'article est d'obtenir des conditions pour que ces filtrations soient égales et de décrire l'écart entre ces filtrations lorsqu'elles sont différentes. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas des transformations homogènes, où le processus $(H_nε_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ est une fonctionnelle de $(ε_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ qui commute avec les translations. Nous étudions de façon approfondie les transformations homogènes de longueur finie, où $H_n$ est de la forme $ϕ(ε_{n-d},...,ε_{n-1})$ avec $d\in\mathbf {N}$ et $ϕ:\{-1;1\}^d\to\{-1;1\}$ fixés.