Transcendance de p\'eriodes: \'etat des connaissances

Abstract

Les nombres r\'eels ou complexes forment un ensemble ayant la puissance du continu. Parmi eux, ceux qui sont int\'eressants, qui apparaissent naturellement, qui m\'eritent notre attention, forment un ensemble d\'enombrable. Dans cet \'etat d'esprit nous nous int\'eressons aux p\'eriodes au sens de Kontsevich et Zagier. Nous faisons le point sur l'\'etat de nos connaissances concernant la nature arithm\'etique de ces nombres: d\'ecider si une p\'eriode est un nombre rationnel, alg\'ebrique irrationnel ou au contraire transcendant est l'objet de quelques th\'eor\`emes et de beaucoup de conjectures. Nous pr\'ecisons aussi ce qui est connu sur l'approximation diophantienne de tels nombres, par des nombres rationnels ou alg\'ebriques.