Familles de polynomes liees aux courbes modulaires X1(l) unicursales et points rationnels non-triviaux de courbes elliptiques quotient
Abstract
Soit l un entier et Ec,l la famille de Kubert des courbes elliptiques definies sur Q munies d'un point rationnel A d'ordre l. On note Fc,l la courbe elliptique quotient de Ec,l par le groupe engendre' par A, et fl l'isogenie de Ec,l sur Fc,l. Pour l = 3, 4, 5 et 6, nous construisons explicitement, pour des parametrisations convenables de c, des elements non-triviaux de Fc,l(Q) / (fl(Ec,l(Q))), autrement dit, des points explicites de Fc,l(Q) qui ne sont l'image par fl d'aucun element de Ec,l(Q). Ces points sont en general d'ordre infini. Nous donnons des applications de cette methode a la construction d'extensions cycliques de Q de degre' l, et retrouvons certains corps obtenus par Shanks et Gras. Dans un article ulterieur, nous etudierons les proprietes arithmetiques de certaines des extensions obtenues ici.
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