Le foncteur V -> $F_2[V]^{otimes 3}$ entre F2-espaces vectoriels est noeth\'erien

Abstract

We prove that in the category F of functors between F2-vector spaces, the tensor product between three copies of the standard projective object P : V -> F2[V] and a functor of finite length is noetherian. The only case known to date was the noetherian character of P tensor 2 tensor F for F of finite length. For this wis use several division functors, whose effect on finitely generated functors of F is analyzed with the help of the grassmannian functor categories and facts from modular representation theory of linear groups. -- Nous d\'emontrons que dans la cat\'egorie F des foncteurs entre espaces vectoriels sur F2, le produit tensoriel entre trois copies du foncteur projectif P : V->F2[V] et un foncteur de longueur finie est noeth\'erien. Seul \'etait ant\'erieurement connu le caract\`ere noeth\'erien de P tenseur 2 tenseur F pour F de longueur finie. Nous utilisons pour cela plusieurs foncteurs de division, dont nous analysons l'effet sur des foncteurs de type fini de F \`a l'aide des cat\'egories de foncteurs en grassmanniennes et de consid\'erations issues de la th\'eorie des repr\'esentations modulaires des groupes lin\'eaires.