Bifurcation vers l'etat d'Abrikosov et diagramme des phases

Abstract

Nous \'etudions dans cette th\`ese la fonctionnelle de Ginzburg-Landau dans $\R^3$ sur des couples de fonctions $(\phi, \overrightarrow{A})$ qui v\'erifient des conditions de p\'eriodicit\'e de jauge en $x_3$ et selon un r\'eseau discret de $(x_1,x_2)$. Nous montrons que le probl\`eme variationnel est \'equivalent au probl\`eme de la minimisation d'une autre fonctionnelle sur un tore. Dans le cadre de la d\'emonstration, un fibr\'e vectoriel non trivial appara\^it. On se limite alors pour la suite \`a une quantification de 1. On montre ensuite que la fonctionnelle admet un minimum sur l'espace fonctionnel $H^{1}$ qui v\'erifie un syst\`eme d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles appel\'e syst\`eme de Ginzburg-Landau. Le minimum est $C^{\infty}$ par l'ellipticit\'e du syst\`eme d'\'equations de Ginzburg-Landau. On montre qu'il y a une bifurcation du couple $(0,0)$ pour le champ critique $H_{ext}=k$ o\`u $k$ est un param\`etre caract\'eristique du syst\`eme. On \'etudie alors la stabilit\'e de la solution bifurqu\'ee. On \'etudie la d\'ependance de l'\'energie minimale \`a l'\'egard de la g\'eom\'etrie du tore. Enfin nous d\'ecrivons toutes les solutions du syst\`eme d'\'equations de Ginzburg-Landau dans la limite $k$ tend vers l'infini. Dans le dernier chapitre, nous donnons pour notre mod\`ele la structure du diagramme des phases en pr\'ecisant quelles r\'egions sont normales, supraconductrices pure, mixte.